Анализ методом Монте-Карло

Открыть эту статью в PDF

Монте-Карло — метод анализа, применяемый в случаях, когда параметры известны приблизительно, и есть информация о статистическом распределении этих параметров. Для проведения анализа генерируют большое число случайных значений параметров, для каждого такого значения выполняют расчет и формируют статистическое распределение для результата.

Примерами задач, для которых применяют анализ Монте-Карло, могут служить следующие ситуации:

• Оценка опционов на акции на основе статистических данных о колебаниях цены акции.
• Определение Value-at-Risk в инвестиционных решениях с известными данными о статистическом распределении доходности ценной бумаги.
• Оценка инвестиционных проектов, связанных с добычей полезных ископаемых или другой деятельностью, в которой данные о параметрах проекта (дебит нефтяной скважины и т. п.) выражены статистически.

Пример графика распределения значений NPV инвестиционного проекта методом Монте-Карло:

На этом графике по горизонтальной оси показан интервал значений NPV, полученных в расчетах (результаты сгруппированы с шагом 100 000), а по вертикальной оси — число случаев, когда NPV попадала в этот интервал (из 1 000 попыток).

Алгоритм метода Монте-Карло

В сфере финансов для анализа методом Монте-Карло необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Параметры

Выбираем результат, который будем анализировать методом Монте-Карло — цена опциона, NPV инвестиционного проекта и т. п.

В качестве параметров для Монте-Карло выбираем один или несколько показателей, влияющих на результат. Предполагается, что значения этих параметров известны не точно, но мы знаем или можем получить характеристики статистического распределения параметров.

Шаг 2. Основная модель

Создаем модель, которая вычисляет результат с учетом выбранных параметров. Скорее всего, кроме статистических параметров, используемых в Монте-Карло, в ней будут и другие данные, которые заданы в традиционном виде с конкретными значениями. В финансовом анализе модель обычно создают в Excel, но, в принципе, метод Монте-Карло можно реализовать и другими инструментами: на языке Python или еще в каком-то приложении.

Шаг 3. Закон распределения

Необходимо решить, как именно выглядит статистическое распределение параметров. Простейший вариант — равномерное распределение. В этом случае параметр с одинаковой вероятностью может принимать любое из значений в заданном интервале. К сожалению, такое распределение случайных величин не очень часто соответствует действительности.

Самый распространенный подход — нормальное распределение, предполагающее, что вероятность выпадения значений постепенно падает с удалением от среднего. Хотя в реальных процессах нормальное распределение часто лучше всего описывает поведение параметров, у него есть неудобства в реализации. Во-первых, оно не ограничивает возможные отклонения от среднего. Пусть и с маленькой вероятностью, но значение параметра может оказаться сколь угодно далеким от ожидаемого. Из-за этого нормальное распределение иногда заменяют треугольным. Во-вторых, нормальное распределение с одинаковой вероятностью допускает отклонения параметра вверх и вниз от ожидаемой величины. Но часто вероятности снижения и роста показателя не одинаковы. Тогда может потребоваться более сложный закон распределения.

Шаг 4. Свойства распределения

Для выбранного закона распределения случайных параметров необходимо получить свойства этого распределения. В наиболее популярном нормальном распределении это среднее значение и стандартное отклонение. Если Монте-Карло будет использовать другое распределение, то и перечень его свойств может меняться.

Самая интересная (и сложная) деталь на этом шаге — корреляция. Если параметров несколько, то может оказаться, что они хотя и являются случайными, но их случайные колебания связаны друг с другом. Например, если при моделировании инвестиционного проекта в качестве случайных параметров выбраны цены готовой продукции и стоимость комплектующих, то жизненный опыт подсказывает, что чаще всего цены на товар и цены на комплектующие к нему меняются похожим образом, то есть эти величины коррелированы. Анализ их случайных колебаний без учета такой связи может заметно исказить картину.

Шаг 5. Многократный расчет

С помощью средств автоматизации расчетов (Excel, Python и т. п.) запускаем цикл из большого числа повторений, на каждом шагу которого получаем случайные значения параметров в соответствии с их законом распределения, вычисляем результат и накапливаем статистику по полученному результату.

Шаг 6. Анализ результатов

В первую очередь результаты моделирования представляют графически, отображая на гистограмме частоту попадания результата в разные интервалы значений. Далее можно рассчитать для результата любые статистические характеристики как для реального случайного процесса: среднее, стандартное отклонение и другие показатели.

Сложности применения Монте-Карло

Главная проблема анализа методом Монте-Карло связана с получением данных о статистическом распределении параметров, использованных в анализе. Сложный и насыщенный данными метод моделирования создает у аналитика впечатление о точности и глубине исследования возможных результатов, но в действительности качество сделанных выводов полностью зависит от качества исходных данных.

В ряде случаев для параметров доступны обширные данные наблюдений, и их статистику можно объективно рассчитать. Но часто наблюдения для параметров недоступны, и правила их распределения определяют аналитически. В таких ситуациях можно сделать две ошибки.

Ошибка 1. Неверное правило распределения. Закон распределения и его характеристики не стыкуются с тем, как определи базовые значения параметров. Например, продажи уже и так спланированы по наиболее оптимистическому сценарию, а статистическое распределение в равной степени допускает отклонения как вверх, так и вниз.

Ошибка 2. Игнорирование корреляции. Многие параметры, хотя и являются случайными, сильно связаны друг с другом. Если мы анализируем их как независимые, то можем получить сильно искаженный результат.

Организация расчета методом Монте-Карло в Excel

Наиболее распространенная среда, в которой выполняют анализ Монте-Карло — Excel. Сложные инструменты моделирования Монте-Карло, учитывающие все тонкости статистики, встроены в различные надстройки статистического анализа, такие как @RISK. Но они могут быть довольно дорогими, а если доступные данные не позволяют получить детальные параметры, то применение сложных инструментов не будет оправданным.

Простые решения для анализа Монте-Карло можно реализовать своими силами. Ниже приведены два видеоролика о том, как создать модель анализа Монте-Карло средствами таблиц данных или с применением макросов.

1. Вариант с использованием таблиц данных:
Файл из видео: monte-carlo-datatable.zip

2. Вариант с использованием макросов:
Файл из видео: monte-carlo-macro.zip